Лекция. Формат чисел

ПЛАН ЛЕКЦИИ

1. Позиционные системы счисления

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

3. Знаковые двоичные числа

1. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления, к которым относятся и широко распространенная десятичная система, числовое значение цифры зависит от ее местоположения или позиции в последовательности цифр изображающих число. Единственной, дошедшей до нашего времени, системой, не относящейся к позиционной системе счисления, является римская система счисления.

Любое число в позиционной системе счисления изображается последовательностью цифр:

Х = а_n-1a_n_-2…a₁a₀ ,

где a_iє{0,1,…,q-1}, q – основание системы счисления.

Наибольшее распространение получили системы счисления с основанием q=2, 8, 10, 16.

Если q >10, то вводят специальные символы, соответствующие цифрам 10, 11 и т.д. Так в 16-ной системе счисления такими символами являются начальные буквы латинского алфавита:

[А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)].

Микропроцессорная техника оперирует двоичными цифрами. Независимо от изображения чисел и цифр в программе пользователя, микропроцессор всегда преобразует их в последовательность двоичных цифр: 0 и 1.

Обозначение основания системы счисления числа производится нижним числовым индексом после записи числа, либо передними символами:

(123₈, 123₁₀, 123₁₆,…) или 0х__(₁₆), bx__(₂).

Используют следующие сокращения для обозначения форматов двоичных чисел.

Бит – двоичная цифра, имеющая два значения (0, 1).

С помощью двух бит можно представить четыре числа (00, 01, 10, 11).

С помощью трех бит можно представить восемь чисел.

С помощью n бит можно представить 2ⁿ чисел.

Тетрада – это комбинация из четырех бит, она описывает 16 комбинаций чисел, т.е. совпадает с числом цифр в 16-теричной системе счисления. Т.о. любую комбинацию тетрады мы можем записать либо 4 битами, либо одной цифрой 16-ной системы счисления:

0000₂= 0₁₆ 1000₂= 8₁₆

0001₂= 1₁₆1001₂= 9₁₆

0010₂= 2₁₆ 1010₂= А₁₆

0011₂= 3₁₆ 1011₂= В₁₆

0100₂= 4₁₆1100₂= С₁₆

0101₂= 5₁₆1101₂= D₁₆

0110₂= 6₁₆ 1110₂= E₁₆

0111₂= 7₁₆1111₂= F₁₆

Байт (от английского слова “слог”) – это группа из 8 бит.

Байт позволяет описать 256 различных чисел. Биты в байте номеруются справа, налево начиная с нуля.

Самое младшее число в 16-теричной системе счисления, формата байт, записывается в виде 00₁₆, а самое старшее число записывается в виде FF₁₆.

Слово – это комбинация из 16 бит или 2 байт. Слово содержит:

2¹⁶= 65536 комбинаций.

Для краткой записи больших степеней числа 2 (что используется при характеристике объема памяти ) величину 2¹⁰ обозначают буквой К, которая читается “килобайт” (Кбайт), число 2²⁰ обозначают М, которая читается “мегабайт” (Мбайт), число 2³⁰ обозначают Г, которая читается “гигабайт” (Гбайт).

2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Любое число в позиционной системе исчисления изображается последовательностью цифр.

где q – основание системы исчисления.

Правило №1: Десятичное значение числа, записанного в любой системе исчисления, определяется по формуле:

где - разряды исходного числа; - вес i-ого разряда; i – номер текущего разряда; n – число разрядов исходного числа.

Пример №1

Определить десятичный эквивалент числа

Пример №2

Определить десятичный эквивалент числа

Правило №2: Для перевода целого десятичного числа X в систему счисления с основанием q необходимо последовательно делить исходное число X и образующиеся частные на основание q до получения частного равного нулю. Искомое представление числа есть последовательность остатков от операций деления, причем первый остаток дает младшую цифру искомого числа.

Пример №3

Определить двоичный эквивалент числа 183

183/2 = 91 (остаток 1)

91/2 = 45 (остаток 1)

45/2 = 22 (остаток 1)

22/2 = 11 (остаток 0)

11/2 = 5 (остаток 1)

5/2 = 2 (остаток 1)

2/2 = 1 (остаток 0)

1/2 = 0 (остаток 1)

183₁₀ = 10110111₂

Пример №4:

Определить шестнадцатеричный эквивалент числа 186

186/16 = 11 (остаток 10)

11/16 = 0 (остаток 11)

186₁₀ = ВА₁₆

Правило №3: Для перевода двоичного числа в систему счисления с основанием 8 или 16 необходимо исходное число справа налево сгруппировать по 3 или по 4 бита, а затем каждую группу записать одной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой.

Пример №5:

Определить восьмеричный эквивалент двоичного числа 10101111

10101111₂ = 257₈

111₂ = 1•2⁰ + 1•2 + 1•2² = 7₈

101₂ = 1•2⁰ + 0•2 + 1•2² = 5₈

010₂ = 0•2⁰ + 1•2 + 0•2² = 2₈

Пример №6:

Определить шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа 10101111

10101111₂ = AF₁₆

1111₂ = 15₁₀= F₁₆

1010₂ = 10₁₀= A₁₆

Правило №4: Для перевода 8-ого или 16-теричного числа в систему счисления с основанием 2 необходимо каждый разряд исходного числа записать группой из трех или четырех бит.

Пример №7:

Определить двоичный эквивалент восьмеричного числа 257

257₈ = 10101111₂

7₈ = 111₂

5₈ = 101₂

2₈ = 010₂

3. Знаковые двоичные числа

Для изображения знака числа при кодировке знаковых чисел используется старший двоичный разряд. Для отображения положительного числа старший двоичный разряд полагают равным нулю, для отрицательных чисел этот разряд равен 1.

При записи знаковых чисел всегда задают его формат, т.е. число бит, выделяемых для записи знакового числа. Обычно этот формат состоит из восьми бит. Используются прямой (Рис.1) и дополнительный коды (Рис.2) для записи знаковых чисел. В прямой кодировке старший разряд используется как знаковый разряд, а оставшиеся младшие разряды используются для обозначения модуля числа.

Рис.1. Прямой код

Максимальное положительное число в прямой кодировке в двоичном представлении записывается как 01111111 = 127₁₀.

Минимальное положительное число в прямой кодировке в двоичном представлении записывается как 11111111 = -127₁₀.

Пример: Нарисовать график зависимости знакового значения восьми битного числа в прямой кодировке от его без знакового эквивалента.

Прямой код использовался в микропроцессорной технике на ранних этапах развития. В настоящее время используется лишь дополнительный код для записи знаковых чисел. В дополнительном коде кодировка положительных чисел совпадает с прямой кодировкой, а для кодировки отрицательных чисел введено специальное правило. Для получения дополнительного кода отрицательные числа в формате из n бит необходимо записать n-битный модуль этого числа, затем все биты проинвертировать и к полученному числу арифметически прибавить единицу.

Для получения модуля отрицательного числа записанного в дополнительном коде необходимо выполнить следующие операции:

1. Записать n-битный код отрицательного числа,

2. Проинвертировать все биты,

3. Арифметически прибавить единицу.

Рис.2 Дополнительный код

Пример:

10101111 Знак: «-»

0101111 – Модуль

Число 10101111 после инвертирования становиться 01010000, затем прибавляем единицу

01010000 + 1 = 01010001₂ = 51₁₆ = 81₁₀

Пример: Нарисовать график зависимости знакового значения восьми битного числа в дополнительной кодировке от его без знакового эквивалента.


Xbox Live Gold - 12 месяцев Разблокировка Мегафон TP-DS1 iTunes Gift Card (Россия) 500 рублей	В начало Лекция. Формат чисел ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Позиционные системы счисления 2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую 3. Знаковые двоичные числа 1. Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления, к которым относятся и широко распространенная десятичная система, числовое значение цифры зависит от ее местоположения или позиции в последовательности цифр изображающих число. Единственной, дошедшей до нашего времени, системой, не относящейся к позиционной системе счисления, является римская система счисления. Любое число в позиционной системе счисления изображается последовательностью цифр: Х = а_n-1a_n_-2…a₁a₀ , где a_iє{0,1,…,q-1}, q – основание системы счисления. Наибольшее распространение получили системы счисления с основанием q=2, 8, 10, 16. Если q >10, то вводят специальные символы, соответствующие цифрам 10, 11 и т.д. Так в 16-ной системе счисления такими символами являются начальные буквы латинского алфавита: [А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)]. Микропроцессорная техника оперирует двоичными цифрами. Независимо от изображения чисел и цифр в программе пользователя, микропроцессор всегда преобразует их в последовательность двоичных цифр: 0 и 1. Обозначение основания системы счисления числа производится нижним числовым индексом после записи числа, либо передними символами: (123₈, 123₁₀, 123₁₆,…) или 0х__(₁₆), bx__(₂). Используют следующие сокращения для обозначения форматов двоичных чисел. Бит – двоичная цифра, имеющая два значения (0, 1). С помощью двух бит можно представить четыре числа (00, 01, 10, 11). С помощью трех бит можно представить восемь чисел. С помощью n бит можно представить 2ⁿ чисел. Тетрада – это комбинация из четырех бит, она описывает 16 комбинаций чисел, т.е. совпадает с числом цифр в 16-теричной системе счисления. Т.о. любую комбинацию тетрады мы можем записать либо 4 битами, либо одной цифрой 16-ной системы счисления: 0000₂= 0₁₆ 1000₂= 8₁₆ 0001₂= 1₁₆1001₂= 9₁₆ 0010₂= 2₁₆ 1010₂= А₁₆ 0011₂= 3₁₆ 1011₂= В₁₆ 0100₂= 4₁₆1100₂= С₁₆ 0101₂= 5₁₆1101₂= D₁₆ 0110₂= 6₁₆ 1110₂= E₁₆ 0111₂= 7₁₆1111₂= F₁₆ Байт (от английского слова “слог”) – это группа из 8 бит. Байт позволяет описать 256 различных чисел. Биты в байте номеруются справа, налево начиная с нуля. Самое младшее число в 16-теричной системе счисления, формата байт, записывается в виде 00₁₆, а самое старшее число записывается в виде FF₁₆. Слово – это комбинация из 16 бит или 2 байт. Слово содержит: 2¹⁶= 65536 комбинаций. Для краткой записи больших степеней числа 2 (что используется при характеристике объема памяти ) величину 2¹⁰ обозначают буквой К, которая читается “килобайт” (Кбайт), число 2²⁰ обозначают М, которая читается “мегабайт” (Мбайт), число 2³⁰ обозначают Г, которая читается “гигабайт” (Гбайт). 2. Перевод чисел из одной системы счисления в другую Любое число в позиционной системе исчисления изображается последовательностью цифр. , где q – основание системы исчисления. Правило №1: Десятичное значение числа, записанного в любой системе исчисления, определяется по формуле: , где - разряды исходного числа; - вес i-ого разряда; i – номер текущего разряда; n – число разрядов исходного числа. Пример №1 Определить десятичный эквивалент числа Пример №2 Определить десятичный эквивалент числа Правило №2: Для перевода целого десятичного числа X в систему счисления с основанием q необходимо последовательно делить исходное число X и образующиеся частные на основание q до получения частного равного нулю. Искомое представление числа есть последовательность остатков от операций деления, причем первый остаток дает младшую цифру искомого числа. Пример №3 Определить двоичный эквивалент числа 183 183/2 = 91 (остаток 1) 91/2 = 45 (остаток 1) 45/2 = 22 (остаток 1) 22/2 = 11 (остаток 0) 11/2 = 5 (остаток 1) 5/2 = 2 (остаток 1) 2/2 = 1 (остаток 0) 1/2 = 0 (остаток 1) 183₁₀ = 10110111₂ Пример №4: Определить шестнадцатеричный эквивалент числа 186 186/16 = 11 (остаток 10) 11/16 = 0 (остаток 11) 186₁₀ = ВА₁₆ Правило №3: Для перевода двоичного числа в систему счисления с основанием 8 или 16 необходимо исходное число справа налево сгруппировать по 3 или по 4 бита, а затем каждую группу записать одной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой. Пример №5: Определить восьмеричный эквивалент двоичного числа 10101111 10101111₂ = 257₈ 111₂ = 1•2⁰ + 1•2 + 1•2² = 7₈ 101₂ = 1•2⁰ + 0•2 + 1•2² = 5₈ 010₂ = 0•2⁰ + 1•2 + 0•2² = 2₈ Пример №6: Определить шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа 10101111 10101111₂ = AF₁₆ 1111₂ = 15₁₀= F₁₆ 1010₂ = 10₁₀= A₁₆ Правило №4: Для перевода 8-ого или 16-теричного числа в систему счисления с основанием 2 необходимо каждый разряд исходного числа записать группой из трех или четырех бит. Пример №7: Определить двоичный эквивалент восьмеричного числа 257 257₈ = 10101111₂ 7₈ = 111₂ 5₈ = 101₂ 2₈ = 010₂ 3. Знаковые двоичные числа Для изображения знака числа при кодировке знаковых чисел используется старший двоичный разряд. Для отображения положительного числа старший двоичный разряд полагают равным нулю, для отрицательных чисел этот разряд равен 1. При записи знаковых чисел всегда задают его формат, т.е. число бит, выделяемых для записи знакового числа. Обычно этот формат состоит из восьми бит. Используются прямой (Рис.1) и дополнительный коды (Рис.2) для записи знаковых чисел. В прямой кодировке старший разряд используется как знаковый разряд, а оставшиеся младшие разряды используются для обозначения модуля числа. Рис.1. Прямой код Максимальное положительное число в прямой кодировке в двоичном представлении записывается как 01111111 = 127₁₀. Минимальное положительное число в прямой кодировке в двоичном представлении записывается как 11111111 = -127₁₀. Пример: Нарисовать график зависимости знакового значения восьми битного числа в прямой кодировке от его без знакового эквивалента. Прямой код использовался в микропроцессорной технике на ранних этапах развития. В настоящее время используется лишь дополнительный код для записи знаковых чисел. В дополнительном коде кодировка положительных чисел совпадает с прямой кодировкой, а для кодировки отрицательных чисел введено специальное правило. Для получения дополнительного кода отрицательные числа в формате из n бит необходимо записать n-битный модуль этого числа, затем все биты проинвертировать и к полученному числу арифметически прибавить единицу. Для получения модуля отрицательного числа записанного в дополнительном коде необходимо выполнить следующие операции: 1. Записать n-битный код отрицательного числа, 2. Проинвертировать все биты, 3. Арифметически прибавить единицу. Рис.2 Дополнительный код Пример: 10101111 Знак: «-» 0101111 – Модуль Число 10101111 после инвертирования становиться 01010000, затем прибавляем единицу 01010000 + 1 = 01010001₂ = 51₁₆ = 81₁₀ Пример: Нарисовать график зависимости знакового значения восьми битного числа в дополнительной кодировке от его без знакового эквивалента.