Системы счисления (Лекция)
Система
счисления - это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми
знаками.
Системы
счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционная
система счисления - это система, в которой значение символа не
зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления
является римская система счисления (IV,
V, VI).
Позиционная
система счисления - это система, в которой значение символа
зависит от его места (или позиции) в ряду цифр, изображающих данное число. Всё
число делится на разряды. Позиционная система характеризуется основанием или
базисом.
Основание позиционной системы - это
количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах
данной системы счисления.
Основными
характеристиками позиционной системы являются:
1. Количество цифр системы равно её основанию.
2. Наибольшая цифра на единицу меньше основания.
3. Каждая цифра числа умножается на основание в
степени, значение которой определяется положением цифры в числе.
Число М =
М1+М2 представляется в виде:
,
b - основание системы счисления;
а
- значение разряда;
n - число разрядов целой части;
m - число разрядов дробной части;
bi - вес разряда, который равен основанию
степени, равной номеру разряда без единицы.
|
163 |
162 |
161 |
160 |
, |
16-1 |
16-2 |
|
103 |
102 |
101 |
100 |
, |
10-1 |
10-2 |
|
83 |
82 |
81 |
80 |
, |
8-1 |
8-2 |
|
23 |
22 |
21 |
20 |
, |
2-1 |
2-2 |
Изображение числа в
различных системах счисления
Для отличия чисел различных систем счисления
используются различные способы написания:
12510 = 125D (десятичная);
1258 = 125Q (восьмеричная);
12516 = 125H (шестнадцатеричная);
1012 = 101B (двоичная).
Число Z=126,25D можно представить в виде равенства:
-
десятичная
система 
;
-
двоичная
система 
,
;
-
шестнадцатеричная
система 
, 
.
Наиболее широко
используется десятичная система счисления, а все современные вычислительные
средства работают на базе двоичной системы. Использование двоичной системы
счисления при построении вычислительных устройств объясняется следующими причинами:
1) в двоичной системе легче различить 2
состояния, чем, например, 10 десятичных;
2) большинство физических величин имеет два
состояния: потенциал высокий или низкий; выключатель включен или выключен; ток
есть или нет;
3) реализовать цифровую схему, имеющую два
состояния значительно легче.
Недостатком
двоичной системы счисления является то, что в ней необходимо использовать значительно
большее число разрядов, чем, например в десятичной, т.е. очень неудобная
запись. Для облегчения записи двоичных чисел может быть использована
восьмеричная система счисления, так как основанием этой системы является 8=23.
Для перевода двоичных чисел в восьмеричные необходимо разбить двоичное число на
трех битовые группы, каждую из которых можно представить в виде одной
восьмеричной цифры.
Например, 
.
Наряду
с восьмеричным представлением двоичных чисел широкое распространение получили
двоично-десятичная система и шестнадцатеричная система счисления (DDK, BCD).
Двоично-десятичный код ориентирован на десятичное основание системы и может
быть непосредственно преобразован в десятичные числа. Двоично-десятичный код
образуется заменой каждого десятичного разряда в десятичном числе 4-х битовым
двоичным представлением этого разряда. Например, 
(BCD(DDK)).
Шестнадцатеричное представление двоичных чисел есть расширенное
двоично-десятичное представление, использующее дополнительные 6 символов 4-х битовых
групп:
А=10, В=11, С=12, D=13, E=14, F=15. Например, 1F H=31D.
Арифметические
операции
в различных системах
счисления над числами без знаков
Все
арифметические операции во всех системах счисления выполняются аналогично
операциям в десятичной системе счисления, но необходимо помнить чему равно основание
системы счисления, и что число цифр в каждом разряде на единицу меньше, чем
основание.
1. Сложение
1.1 Двоичная система счисления
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=[1]
0, 1+1+1=[1] 1, где [1] - перенос
+11011
1111
101010
1.2
Восьмеричная система счисления
+157 Q
376
Q
555 Q
1.3
Шестнадцатеричная система счисления
+1F7 H
D3E H
F35
H
2. Вычитание
2.1 Двоичная система счисления
1-0=1
0-1=[1] 1, где [1]- заем
-10002
1112
0001
2.2
Восьмеричная система счисления
-1101 Q
777 Q
102 Q
2.3
Шестнадцатеричная система счисления
-1DE H
FF H
DF H
3. Умножение
3.1 Двоичная система счисления
1×1=1
1×0=0
´101
11
+101
101
1111
3.2
Восьмеричная система счисления
´ 27 Q
35 Q
+163 Q
105
1233 Q
3.3
Шестнадцатеричная система счисления
´1F H
A H
136 H
4. Деление
4.1 Двоичная система счисления
-1111
101
101 11
-101
101
0
4.2
Восьмеричная система счисления
16
Q 2
16 7
0
4.3 Шестнадцатеричная система счисления
1E H 2
1E F
0
Преобразование кодов
Правила
преобразования для целых и дробных чисел имеет свои особенности: полное
представление двоичного числа или кода получают путем объединения целых и дробных
частей числа и указания места запятой.
Перевод десятичных
чисел в двоичные, восьмеричные
и шестнадцатеричные числа
1. Целая часть
Повторное деление данного десятичного числа
на основание, остатки дают преобразованное число, читаемое в направлении снизу
вверх.
1) 10-ое ® 2-ое ост.
36:2=18 0
18:2=9
0
9:2=4 1
3610=1001002
4:2=2
0
2:2=1
0
1:2=
1
ост.
124:2=62 0
62:2=31 0
32:2=15 1
12410=11111002
15:2=7 1
7:2=3 1
3:2=1 1
1:2= 1
2) 10ое® 8ое ост.
36:8=4 4
4:8=
4 3610=448
3) 10ое® 16ое ост.
36:16=2 4
2:16= 2
3610=24 H
ост.
124:16=7 C
7:16= 7
12410=7C
H
2. Преобразование
дробных десятичных чисел в двоичные, восьмеричные, шестнадцатеричные коды
Повторное
умножение данного десятичного числа на основание. Разряд перед запятой дает
разряд преобразованного числа, при последующем умножении используется лишь
дробная часть промежуточного результата.
1) 0,375 D® B
(двоичная система)
0,375´2=0,75 0
0,75´2=1,5 1
0,375 D=0,0112
1,5´2=1,0 1
2) 0,375 D®Q
0,375´8=3,0 3
0,375 D=0,38=0,3Q
3)0,375 D®H
0,375´16=6,0 6
0,375 D=0,6 H
Методы
преобразования кодов в десятичные
1. Целая
часть
Повторное умножение промежуточного результата
на основание и сложение его со значением разряда данного числа. Первым
промежуточным результатом является наивысший разряд.
1) 1101002 ® D
1 1
1×2+1 3
3×2+0 6
6×2+1 13
13×2+0 26
26×2+0 52
32 16 8 4
2 1
1 1 0
1 0 0
1101002 = 52 D
2) 154 Q® D
1 1
1×8+5 13
13×8+4 108
1 5 4 Q=108 D
3) 1AF H® D
1 1
1×16+A 26
26×16+F 431
1 A F H=431 D
2. Перевод
дробных кодов в десятичные
Повторное
деление суммы промежуточного результата и значения разряда данного числа на
основание. Первым промежуточным результатом является младший разряд, делённый
на основание.
1) 0®D
1:2=0,5
+0,5:2=0,75
+0,75:2=0,875
0, 1 1
1
0,1112=0,875D
2) Q®D
1:8=0,125
+0,125:8=0,64
+0,64:8=0,455
0, 3 5
1 0,3518=0,455D
3) H®D
A:16=0,625
+0,625:16=0,101
0, 1 A 0,1A16=0,101D
Общее
правило
В
общем случае перевод целого числа из одной системы счисления в другую производится
методом повторного деления данного числа на основание той системы, в которую
оно переводится. Деление выполняют в системе счисления, в которой записано подлежащее
преобразованию число. Основание записывают в системе счисления преобразуемого
числа. Результат также записывают в системе преобразуемого числа.
1) 154Q®D
154
12
12 12 12
34 12
1 12
24 0 1 0
10
8
0 1 1548 = 10810
2) 100002®D
10000 1010
1010
1 1010
110 1
100002
=1610
По
общему правилу перевод дробной части числа из одной системы счисления в другую
производится последовательным умножением числа на основание преобразованного
числа. Умножение производится в системе счисления преобразуемого числа,
основание и результат записываются в системе счисления преобразуемого числа.
Умножению подвергаются только дробные части промежуточных результатов. Целая
часть до запятой представляет собой разряды преобразуемого числа, записанные в
системе счисления преобразуемого числа.
0,752Q®D
0,752 ´ 12
11 444
5 550
7 02
1) ´ 0,752
12
1724
752
11,444
2) ´ 0,444
12
1110
444
5,550
3) ´ 0,55
12
132
55
7,02
0,752 Q = 0,957 D
Кодирование чисел в
вычислительных системах
Все
системы счисления допускают использование как положительных, так и
отрицательных чисел, для обозначения которых в вычислительных системах
применяют знаковый разряд. В него для изображения положительного числа заносится
ноль, для изображения отрицательного числа заносится единица. Знаковый разряд
обычно стоит в начале разрядной сетки ЭВМ. Для представления двоичных чисел со
знаком применяют специальные коды:
-
прямой;
-
обратный;
-
дополнительный.
Прямым
кодом двоичного числа
называется n-разрядное число, у
которого один или два старших разряда есть знаковые, и записывается это число в
следующем виде:
Прямой код определяется следующим выражением:
,
где А - вес знакового разряда.
Для дробных чисел А=1, для целых чисел А=2n-1,
где n- число бит разрядной
сетки ЭВМ.
Пример.
n = 4
х
= -5
|
1 |
1 |
0 |
1 |
[-5]пр
= 23 + ï-5ï=13=1101
для
n = 5
|
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
[5]пр = 24 + ï-5ï=16 +5= 21=10101
Пример.
n = 4
х
= -0,5
[-0,5]пр
= 1 + ï0,5ï=1,5=1100
В прямом коде 0 имеет два значения. Например,
для n=4
+0º0000
-0º1000
Обратным кодом двоичного числа называется n-разрядное число, у которого один или
несколько старших разрядов есть знаковые, и записывается оно в следующем виде:
Обратный код положительного числа равен
прямому коду этого числа.
Обратный код отрицательного числа
определяется выражениями:
-
для
дробных чисел [X]обр = 2 - 2-(n-1) - |X|;
-
для
целых чисел [X]обр = 2n -1 - |X|.
Наиболее просто обратный код можно получить
следующим образом:
1. Записать исходное число в прямом коде
(знаковый разряд равен 1).
2. В цифровых разрядах поменять нули на единицы,
а единицы на нули.
Пример.
n = 4
х
= -5
[-5]пр
= 1101
[-5]обр
= 1010
[-5]обр
= 24-1-[5] = 16-1-5 = 10 =1010
Пример. Обратный код дробного числа:
n = 4
х
= -0,5
[-0,5]обр
= 2-2-(4-1)-ï0,5ï=1,375=1011
0,375×2=0,75 0
0,75×2=1,5 1
0,5×2=1,0 1
Пример.
n = 4
х
= +5
[5]обр
= [5]пр = 0101
Вес
знакового разряда отрицательного числа равен
- [2n-1 -1].
n=4, [+0]обр=0000, [-0]обр=1111.
Перевод обратного кода в десятичный
производится следующим образом:
1. Образуем прямой код инвертированием цифровых
разрядов.
2. Значение знакового разряда (1) отбрасываем и
считаем, что это '' минус''.
3. Умножаем значение цифровых разрядов на их веса и произведения складываем.
Перевод положительных чисел, записанных в
прямом и обратном кодах в десятичные числа, производится сложением произведений
значений цифровых разрядов на их веса.
Пример: 1010 = - [23 - 1] + 0×22 + 1×21 + 0×20 =
-7 + 0 + 2 +0 = -5
В основном в вычислительных системах
используется дополнительный код.
Дополнительным
кодом двоичного
числа называется n-разрядное
число, у которого один или два старших разряда есть знаковые, и записывается
это число в следующем виде:
(n-1)
нулей
Дополнительный код положительного числа равен
прямому коду данного числа.
Дополнительный код отрицательного числа
образуется следующим образом:
-
для дробных
чисел [X]доп = 2 - |X|;
-
для
целых чисел [X]доп = 2n - |X|.
Дополнительный код отрицательных чисел можно
получить по следующему правилу:
1. Записать число в обратном коде.
2. Прибавить к полученному результату 1.
Пример.
n = 4
х
= -5
[-5]обр
= 1010
[-5]доп
= 1011
È весовой знак (-2n-1)
n = 4
[+0]доп = 0000
[-0]доп = 0000
Для
перевода двоичного числа, записанного в дополнительном коде, в десятичное необходимо:
1. Определить знак числа. Если число
положительное - знаковый разряд равен нулю, то дополнительный код равен прямому
и для получения десятичного числа умножаем значения цифровых разрядов на их
веса, а потом произведения складываем.
2. Если число отрицательное (в знаковом разряде
стоит 1) необходимо проинвертировать цифровые разряды двоичного числа, к
полученному результату прибавить единицу, и тем самым получаем представление
числа в прямом коде, далее суммируя произведения значений весовых коэффициентов
на соответствующие разряды, получаем десятичное число.
Представление двоичного числа в десятичном
коде можно получить, используя вес знакового разряда.
Пример:
1011-доп.
1100
0001
1101
-(1×22+0×21+1×20)=-5
1101=
1×(-23) +0×22+1×21+ 1×20 =
-5
Арифметические
операции над числами со знаками
Для
выполнения операций сложения и вычитания в цифровой системе, числа удобно
представить в обратном или дополнительном кодах, причём вычитание заменяется
сложением.
Пример.
n = 6
16-5=
16+(-5)
[16]пр
= [16]обр =[16]доп =010000
[-5]пр
= 100101
[-5]обр
= 111010
[-5]доп
= 111011
1) В обратном коде 2) В дополнительном коде
+010000 010000
111010 111011
1001010 1 001011
цикл +1
пер
При
равенстве переносов в знаковый разряд и из знакового разряда переполнение
разрядной сетки ЭВМ - отсутствует.
ZS + ZS+1
= 1 - условие переполнения разряда.
Обратный и
дополнительный код десятичных чисел
Обратный код
Пример: [-595]обр = 1 404; 
;
[-595]пр = 1 595
Дополнительный код
, где n - число десятичных разрядов.
Пример: [-595]доп = 1 405
Арифметические
операции в двоично-десятичном коде
В
двоично-десятичном коде из 4-х двоичных разрядов можно составить 16 комбинаций
(0000¸1111). Поскольку для представления десятичной цифры необходимо
только 10 комбинаций (0000¸1001), то следовательно 6 комбинаций двоичных цифр (1010¸1111) не
используется. В двоично-десятичном коде (DDK) перенос необходимо генерировать при десятом
отсчёте, поэтому при сложении в случае переноса добавляется 6. Шестёрка также
добавляется в случае появления запрещённой комбинации.
Пример:
+[-595]
[-0595]пр. = 10595
[-675]
[-0675]пр. = 10675
[-0595] пр. [-0595] обр. = 19404 DDK:
11001010000000100
[-0675] обр. = 19324 DDK: 11001001100100100
[-0595] доп. = 19405 DDK:
11001010000000101
[-0675] доп. = 19325 DDK:
11001001100100101
+
11001010000000100
11001001100100100
110010011100101000
+ 0110 +1
1
1000 0111 0010 1001
1 8 7
2 9
(
"-" знак)
- 1 2
7 0 обратный код
В
дополнительном коде
+ 1
1001 0100 0000 0101
1
1001 0011 0010 0101
1 1
0010 0111 0010 1010
0110 0110
1 1000 0111 0011 0000
1 8
7 3 0
½10n - ½х½½= - 127
Двоично-десятичная
система кодирования
В
декадных счётчиках, частотомерах, цифровых вольтметрах, датчиках положения скорости
используется двоично-десятичный код. В цифровых приборах для индикации используется
семи сегментный код, т.е. в цифровых приборах DDK работает в семи сегментный код. DDK каждая десятичная цифра представляется в
виде комбинации знаков 0 и 1 при этом сохраняется десятичный вес цифры.
Наиболее общим способом кодирования является представление десятичной цифры при
помощи её 4-х разрядного двоичного эквивалента.
DDK
бывают взвешенные и не взвешенные. Во взвешенном коде каждый двоичный разряд
десятичный цифры имеет определённый вес. Любую десятичную цифру от 0 до 9 можно
представить в виде следующего выражения:
А = а1×Q1 + а2×Q2 + а3×Q3 + а4×Q4,
где а1…а4 - веса
двоичных разрядов;
Q1…Q4
- двоичные числа кодовой комбинации. Например, [5]DDK = 0101
К взвешенным кодам относят коды 8421, 4221,
2421, 5211, 5421 и код с избытком 3.
Наиболее употребительным является код 8421.
Этот код удобен тем, что он совпадает с обычным двоичным кодом. Кроме того, он
однозначен. В нём для каждой десятичной цифры можно написать одну и только одну
комбинацию.
Код 2421
1100=6, 0110=6.
В зависимости от
порядка следования степеней числа 2 взвешенные коды бывают регулярными и
нерегулярными. В регулярном коде степени расположены в возрастающем порядке.
Если степени числа 2 расположены другим способом, то хотя в результате и
получится DDK, но он будет
нерегулярным. Регулярный код 8421, примерами нерегулярного кода могут быть
2421, 4221. Преобразование в нерегулярных кодах производится порядком
следования степеней 2. Отсюда следует, что если установить вес некоторым
произвольным образом, то получим код, который можно характеризовать как
случайный, и связывая сложным образом веса между собой можно получить секретный
код, который не поддаётся расшифровке.
Если в коде 8421
добавить число 3, то получится код с избытком 3:
А = а1×Q1 + а2×Q2 + а3×Q3 + а4×Q4 + 3. [4]код с изб."3" =
0100 + 0011 =0111.
В коде с избытком 3 каждая цифра содержит как
единицы, так и нули, что создаёт определённые преимущества при передаче
информации. Поскольку в этом коде десятичный ноль также представляет собой
группу нулей и единиц, то это обеспечивает высокую степень надёжности при детектировании
(передаче) кода нуля. Другим достоинством этого кода является то, что он само
дополняющийся и применяется при выполнении арифметических операций над
десятичными числами, записанными в обратном или дополнительном коде.
DDK также можно разделить на две группы:
-
самодополняющиеся
коды;
-
не
самодополняющиеся коды.
К самодополняющимся кодам относят коды,
которые характеризуются следующим:
при разрядном инвертировании кодовой
комбинации любой цифры от 0 до 9 получается новая кодовая комбинация, которая
соответствует числу, дополняющему исходное число до 9.
Код 2421 само дополняющийся, например, 0110 =
6, проинвертировав (1001) = 3.
Кроме
кодов двоично-десятичных существуют коды управляющих и контролирующих модулей -
коды Грея. Этот код является кодом с обменом единицей. При переходе из одной
цифры кода к другой всегда изменяется только один из двоичных разрядов.
Кроме
того, существует код чётности для контроля передачи информации, код Хемминга,
который служит для контроля передачи информации, отыскании ошибки в передаче и
коррекция этой ошибки.
Семисегментный
код применяется для представления десятичных цифр с помощью семи сегментного
индикаторного элемента.
Код
ASCII преобразует
алфавитно-цифровую информацию.