В начало

Метод дихотомии

 

Для примера выберем функцию у = х³ – 75x.Для поиска экстремума в MathCAD методом дихотомии (от греч. dica – на две части и …tomh – сечение) воспользуемся программой-функцией. Чтобы её записать, введём имя будущей программы-функции X_max. Затем нужно создать тело программы-функции, для чего открыть панель «Programming», выбрав в главном меню «Вид – Панели инструментов – Программирование», и на появившейся панели щёлкнуть левой кнопкой мыши на «Add line». После чего на экране появится вертикальная черта и вертикальный столбец с двумя полями для ввода операторов, образующих тело программы-функции

Теперь заполним поля программы-функции операторами. Чтобы перейти в первое сверху поле, нужно щёлкнуть на нём мышью, после чего ввести первый оператор тела программы-функции. Так как самое нижнее поле всегда предназначено для определения возвращаемого программой значения, то поля ввода для дополнительных операторов открываются с помощью щелчка на кнопке «Add line» панели программирования. При этом поле ввода добавляется внизу выделенного к этому моменту оператора. Итак, нам потребуется 5 полей. В первое поле вводим начальное значение диапазона а = –10, во второе – конечное b = 10, в третье – погрешность ε = 0,01. В четвёртое поле тела программы-функции запишем оператор цикла «while», для чего нужно на панели «Programming» выбрать «while». Оператор «while» состоит из условия выполнения цикла и тела. В пятое поле программы-функции запишем переменную a, значению которой будет соответствовать значение программы-функции.

Для построения графика необходимо выбрать в главном меню «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «y(x), y(X_max)», а по оси абсцисс – «x, X_max». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика, на которой выбрать закладку «Трассировки», выделить мышью «trace2» и в поле «Символ» выбрать «dmnd». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс путём ввода соответствующих значений в области на оси x графика. Поскольку значения по оси х изменяются от a = –10 до  b =10, их и введём.

Чтобы получить численное значение экстремума функции y(x), нужно написать в рабочей области MathCAD интересующую нас переменную и поставить знак равенства, после чего программа автоматически выведет значение экстремума. При  Х_max = –5,063 получим у_max(Х_max) = 249,94.

Проверить результат машинного поиска экстремума функции у = х³ – 75x  можно аналитически. Для этого приравняем нулю её первую производную y' = 3х² – 75. При  y' = 0 получаем  x = ±5, что совпадает с расчётами, сделанными на MathCAD. Тогда у_max(Х_max = –5) = 250, что соответствует машинному расчёту.

График функции и результат поиска экстремума показан на рис. 1.

Рис. 1. График функции у = х³ – 75x и результат поиска  экстремума (максимума) методом деления отрезка пополам