В начало

Полиномиальная регрессия

 

Полиномиальная  регрессия означает приближение данных (x_i, y_i) полиномом k-й степени A(x) = a + b – x + c – x² + d – x³ + ... + h – x^k. При k = 1 полином описывают прямой линией, при k = 2 – параболой, при k = 3 – кубической параболой и т.д. Как правило, на практике применяют  k < 5. Надо иметь в виду, что для построения регрессии полиномом k-й степени необходимо наличие по крайней мере (k + l) точек данных.

Чтобы осуществить полиномиальную регрессию с помощью MathCAD, надо выполнить следующие действия:

В главном меню необходимо выбрать «Вид – Панели инструментов – Матрица», после чего в появившейся панели «Matrix» выбрать «Создать матрицу» на 1 строку и 7 столбцов и ввести координаты по оси x. Далее с помощью элемента «Транспонирование матрицы» той же панели транспонировать матрицу данных

Аналогичную операцию проводим с координатами по оси у

В MathCAD полиномиальная регрессия осуществляется комбинацией встроенной функции regress и полиномиальной интерполяции:

– regress(х, у, k) – вектор коэффициентов для построения полиномиальной регрессии данных;

– interp(s, x, y, t) – результат полиномиальной регрессии;

– s:=regress(х, у, k);

– х – вектор действительных данных аргумента, элементы которого расположены в порядке возрастания;

– у – вектор действительных данных значений того же размера;

– k – степень полинома регрессии (целое положительное число);

– t – значение аргумента полинома регрессии.

Для построения полиномиальной регрессии после функции regress необходимо использовать функцию interp.

Далее записываем функцию полиномиальной регрессии как А(t):=interp(s, x, y, t).

Чтобы построить график, необходимо выбрать в главном меню «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «A(t), y», а по оси абсцисс «t, x». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика, на которой выбрать закладку «Трассировки», выделить мышью «trace2» и в поле «Символ» выбрать «dmnd». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс, вводя соответствующие значения в области на оси x графика. Поскольку значения по оси х изменяются от 0 до 6, их и введём. Полученный график показан ниже.

Рис. 1. Регрессия полиномом второй степени

 

Кроме того, мы можем рассчитать значение функции A(t) в требуемых точках. Например, для точки с аргументом x = 1,5 значение аппроксимирующей функции A(t) будет: A(1,5) = 3,553.

Программа квадратичной регрессии