В начало

Разложение сигнала на гармоники

 

Сигнал прямоугольной формы можно описать следующим аналитическим выражением                                                                 

 

Спектр такого сигнала s(t) с помощью ряда Фурье в тригонометрической форме имеет следующий вид:

где ω =  – угловая частота; n – номер гармоники; t – время; A₀, B_n, B_n – коэффициенты разложения ряда Фурье, вычисляемые по формулам:

где x(t) – периодический сигнал.

Полученное аналитическое выражение сигнала x(t) в среде MathCAD будет иметь вид:

                                                        

Для построения графика сигнала x = f(t) необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести «x(t)», а по оси абсцисс – «t». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Оси X – Y» панели форматирования для удобства отображения нужно установить размер сетки, кратный по оси ординат амплитуде сигнала, а по оси абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс вводом соответствующих значений в области на оси абсцисс графика. Поскольку параметры сигнала по оси абсцисс изменяются от 0 до T = 50, эти значения и следует ввести. В результате получим график, изображённый на рис. 2.

Рис. 2.5. График сигнала прямоугольной формы
в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25

 

Для записи разложения сигнала в тригонометрический ряд Фурье потребуется вызвать панель «Calculus» или в главном меню выбрать «Вид – Панели инструментов – Калькуляция». На этой панели есть элементы «Определённый интеграл» и «Суммирование по дискретному элементу». Они необходимы для записи ряда Фурье и его коэффициентов разложения.

Полученное выражение для спектрального показания сигнала в общем виде для заданного числа гармоник N = 3 запишем следующим образом:

 

                      

                                             

                                  

Чтобы добавить на график x = f(t) спектральную форму сигнала s = f(t), нужно выделить указателем мыши на оси ординат поле, где записана функция исходного сигнала x(t) и справа от неё ввести запятую, после этого ниже появится поле для ввода ещё одной функции, куда следует ввести s(t). Графики сигнала прямоугольной формы и его спектральное показание по первым трём гармоникам показаны на рис. 3.

Рис. 2.6. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 3

 

Аналогично строят графики для пяти (рис. 2.7) и семи
(рис. 2.8) гармоник. Для этого в программе расчёта гармоник нужно лишь присвоить числу гармоник N новое значение, а программа автоматически пересчитает спектр сигнала. При этом автоматически обновится график зависимости s = f(t).

 

Рис. 4. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 5

 

0

Рис. 5. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 7